Zusatzinformationen zu keff

1. Zu Mittelwerten

Es gibt verschiedene Arten von Mittelwerten. Am Beispiel einer Autofahrt soll das gezeigt werden.

Die Strecke soll 200 km lang sein, der Fahrer fährt 100 km mit 25 km/h und 100 km/h. Wie groß ist die Durchschnittszeit einer Teilstrecke und wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Fahrzeit der ersten Teilstrecke 4h (= 100 km/25 km/h), Fahrzeit der zweiten Teilstrecke 1h (= 100 km/100 km/h). Die Gesamtfahrzeit ist also 5 Stunden - oder für jede Teilstrecke 2,5 h:

Platz

Diese Art der Mittelwertbildung nennt sich arithmetisches Mittel.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit oder der Mittelwert wäre so nicht zu berechnen:

Platz

Denn für die 200 km wurden 5 Stunden gebraucht und 5 Stunden für 200 km bedeuten eine Durchschnittgeschwindigkeit von 40 km/h (= 200 km/5 h). Wie ist also hier die Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen?

Platz

Diese Art der Mittelwertbildung nennt sich harmonisches Mittel.

Daneben sind noch der geometrische Mittelwert und weitere Mittelwerte bekannt und haben jeweils ihre speziellen Anwendungszwecke. Allerdings ist der Meiersche Mittelwert doch sehr ungewöhnlich.

2. Kontrolle

Aus

Platz

folgt durch Integration über die Zeit:

Platz

Die letzte Gleichungsumformung ist zulässig, weil U und η zeitunabhängig sind.

Wenn Δθ und Id zeitunabhängig ist (und eine Heizperiode betrachtet wird mit der Zeitdauer tHP), können die Integrale als Produkte geschrieben werden.

Platz

Wenn auch Δθ und Id konstant sind, können die Integrale wieder in Produkte umgewandelt werden. Damit wird:

Platz

Wie diese Kontrolle aussehen soll bei dem Meierschen keff ist mir nicht klar, denn dann müßte nachts ein anderes keff als am Tage gelten. Ich glaube kaum, daß Meier das erklären kann. Mit Δθ = 15 K, Id = 71,4 W/mē und tHP = 5600 h = 233 1/3 d (Tage) ergibt sich:

Platz

Platz

also genau die Werte von denen Meier ausgegangen ist.

3. keff-Hyperbel

Aus der für beliebige Werte von U, η, Δθ und Id gültigen Gleichung, die auch für beliebige Werte ein sinnvolles Ergebnis ergibt

Platz

wird bei Division durch Δθ ein keff, daß man nicht für beliebige Werte von Δθ und Id als sinnvoll bezeichnen kann:

Platz

Der zweite Term ist eine Hyperbelfunktion. Eine Hyperbelfunktion hat eine Unstetigkeitsstelle (hier bei Δθ = 0). Bei kleineren Werten von Δθ kann keff negativ werden - und dieser Teil ist sowohl mathematisch richtig als auch physikalisch sinnvoll. Dieser Fall liegt z.B. oft bei Fenstern vor: Es muß zwar noch geheizt werden (d.h. die Außentemperatur ist niedriger als die Innentemperatur), aber durch die Fenster kommt durch die Sonnenwärme mehr Energie herein als durch Transmission verloren geht. Bei Wänden dürfte dieser Fall kaum eintreten - wenn keff negativ werden könnte, braucht nicht mehr geheizt zu werden.

Aber trotzdem mal die Funktion von keff mit den Wetterdaten der EMPA-Untersuchung bis April, Mai bis Juli mit sinnvollen Phantasiedaten:

Wetter

Mit diesen Wetterdaten ergibt sich:

Wetter

Für negative Werte von Δθ wird keff wieder positiv - daß ist mathematisch zwar richtig, aber heiztechnisch sinnlos.

letzte Änderung: 25.04.2004

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